Ambil sebarang \(x\in O\text{.}\) Karena \(O\) adalah gabungan bola-bola terbuka, ada bola penyusun \(B(c,R)\) dengan \(x\in B(c,R)\subseteq O\text{.}\) Maka \(s=R-d(c,x)\gt0\text{.}\) Jika \(y\in B(x,s)\text{,}\) pertidaksamaan segitiga memberi
\begin{equation*}
d(c,y)\leq d(c,x)+d(x,y)\lt d(c,x)+s=R.
\end{equation*}
Jadi \(y\in B(c,R)\text{,}\) sehingga \(B(x,s)\subseteq B(c,R)\subseteq O\text{.}\) Karena \(x\in O\) dipilih sebarang, \(O\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya dan dengan demikian terbuka. Ini melengkapi implikasi yang tertunda.