Karena \(O\) merupakan gabungan bola-bola terbuka, kita dapat menulis \(O=\bigcup_{\alpha\in I}B_\alpha\text{.}\) Keanggotaan \(x\in O\) berarti terdapat sekurang-kurangnya satu \(\alpha_0\in I\) sedemikian sehingga \(x\in B_{\alpha_0}\text{.}\) Di sisi lain, setiap anggota keluarga yang digabungkan merupakan subhimpunan gabungannya, sehingga \(B_{\alpha_0}\subseteq O\text{.}\) Jadi \(x\in B_{\alpha_0}\subseteq O\text{,}\) tepat seperti yang diperlukan.