Karena \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) teorema lingkungan menyatakan langsung bahwa untuk setiap lingkungan \(V\) bagi \(f(a)\text{,}\) himpunan \(f^{-1}(V)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Arah prapeta ini sesuai dengan urutan kuantor dalam definisi kekontinuan.

Untuk arah citra, ambil fungsi konstan \(f:\R\to\R\) dengan \(f(x)=0\text{.}\) Fungsi ini kontinu. Jika \(N=(-1,1)\text{,}\) maka \(N\) merupakan lingkungan bagi \(0\text{,}\) tetapi \(f(N)=\{0\}\text{.}\) Singleton tersebut tidak memuat bola Euklides berjari-jari positif di sekitar \(0\text{,}\) jadi bukan lingkungan.

Sekarang andaikan, sebagai tambahan, bahwa \(f\) merupakan pemetaan terbuka. Jika \(N\) lingkungan bagi \(a\text{,}\) pilih \(r\gt0\) dengan \(B(a,r)\subseteq N\text{.}\) Himpunan \(B(a,r)\) terbuka, sehingga \(f(B(a,r))\) terbuka karena \(f\) pemetaan terbuka. Himpunan itu memuat \(f(a)\) dan termuat dalam \(f(N)\text{.}\) Jadi \(f(N)\) memuat suatu lingkungan terbuka bagi \(f(a)\) dan karenanya merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\)