Solusi G.43.1.
Untuk \(x\in X\text{,}\) keanggotaan \(x\in B(a,\delta)\) tepat berarti \(d_X(x,a)\lt\delta\text{,}\) sedangkan \(x\in f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\) tepat berarti \(d_Y(f(x),f(a))\lt\epsilon\text{.}\) Jadi implikasi epsilon-delta untuk semua \(x\) setara tepat dengan inklusi kedua bola tersebut.
Andaikan syarat inklusi bola berlaku dan \(N\) suatu lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Ada \(\epsilon\gt0\) dengan \(B(f(a),\epsilon)\subseteq N\text{.}\) Pilih \(\delta\gt0\) dari syarat inklusi. Maka
\begin{equation*}
B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon))
\subseteq f^{-1}(N),
\end{equation*}
sehingga \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan sifat prapeta lingkungan berlaku. Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) bola \(B(f(a),\epsilon)\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Prapetanya karena itu merupakan lingkungan bagi \(a\text{,}\) sehingga memuat \(B(a,\delta)\) untuk suatu \(\delta\gt0\text{.}\) Ini menghasilkan syarat inklusi bola dan menutup siklus kesetaraan.
Pada contoh \(f(x)=x^2\text{,}\) bola sasaran ialah \(B(f(2),1)=(3,5)\text{.}\) Menyelesaikan \(3\lt x^2\lt5\) memberi dua interval terpisah \((-\sqrt5,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\sqrt5)\text{.}\) Prapeta ini memuat bola kecil di sekitar \(2\text{,}\) tetapi bukan dirinya sendiri sebuah bola yang berpusat di \(2\text{.}\)