Untuk setiap \(i\in\{1,\ldots,k\}\text{,}\) karena \(N_i\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) pilih \(r_i\gt0\) sehingga \(B(a,r_i)\subseteq N_i\text{.}\) Himpunan \(\{r_1,\ldots,r_k\}\) berhingga dan tak kosong, sehingga \(r=\min\{r_1,\ldots,r_k\}\) ada dan positif.

Jika \(x\in B(a,r)\text{,}\) maka untuk setiap \(i\) berlaku \(d(x,a)\lt r\leq r_i\text{.}\) Jadi \(x\in B(a,r_i)\subseteq N_i\) bagi semua \(i\text{.}\) Karena itu \(B(a,r)\subseteq\bigcap_{i=1}^kN_i\text{,}\) yang membuktikan bahwa irisan tersebut merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)