Karena \(M\) dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) terdapat \(r_M,r_N\gt0\) dengan \(B(a,r_M)\subseteq M\) dan \(B(a,r_N)\subseteq N\text{.}\) Tetapkan \(r=\min\{r_M,r_N\}\text{,}\) yang tetap positif. Jika \(x\in B(a,r)\text{,}\) maka \(d(x,a)\lt r\leq r_M\) dan \(d(x,a)\lt r\leq r_N\text{.}\) Jadi \(x\in M\) dan \(x\in N\text{,}\) sehingga \(B(a,r)\subseteq M\cap N\text{.}\) Maka irisan tersebut merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)