Pertidaksamaan yang diberikan menyatakan \(d(b,A)-d(c,A)\leq d(b,c)\text{.}\) Setelah \(b\) dan \(c\) ditukar, simetri metrik memberi \(d(c,A)-d(b,A)\leq d(c,b)=d(b,c)\text{.}\) Kedua pertidaksamaan itu setara dengan
\begin{equation*}
|d(b,A)-d(c,A)|\leq d(b,c).
\end{equation*}
Tetapkan \(b\in X\) dan \(\epsilon\gt0\text{,}\) lalu ambil \(N=B(b,\epsilon)\text{.}\) Jika \(x\in N\text{,}\) maka
\begin{align*}
|f(x)-f(b)|
\amp=|d(x,A)-d(b,A)|\\
\amp\leq d(x,b)\lt\epsilon.
\end{align*}
Dengan demikian \(f(x)\in B(f(b),\epsilon)\text{.}\) Karena ini berlaku untuk setiap \(b\) dan \(\epsilon\text{,}\) fungsi \(f\) kontinu; batas pertama juga menunjukkan bahwa konstanta Lipschitz-nya paling besar \(1\text{.}\)