Untuk setiap \(x\in\R\text{,}\)
\begin{equation*}
|f(x)-f(p)|=|ax+b-(ap+b)|=|a|\,|x-p|.
\end{equation*}
Karena \(a\neq0\text{,}\) radius \(\delta=r/|a|\) positif. Kita mempunyai rangkaian kesetaraan
\begin{align*}
x\in f^{-1}(B(f(p),r))\\
\amp\Longleftrightarrow |f(x)-f(p)|\lt r\\
\amp\Longleftrightarrow |x-p|\lt r/|a|\\
\amp\Longleftrightarrow x\in B(p,r/|a|).
\end{align*}
Jadi prapeta tersebut bukan hanya memuat, melainkan sama dengan bola yang dinyatakan. Karena konstruksi ini berlaku bagi setiap \(p\) dan \(r\gt0\text{,}\) \(f\) kontinu. Jika istilah fungsi linear juga mencakup kasus \(a=0\text{,}\) kasus itu adalah fungsi konstan dan juga kontinu.