Jika \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) maka ada \(\delta\gt0\) dengan \(B(a,\delta)\subseteq N\text{.}\) Setiap bola berpusat di \(a\) memuat pusatnya, sehingga \(a\in N\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan \(a\in N\subseteq X\text{.}\) Dari perhitungan tugas sebelumnya, \(B(a,1)=\{a\}\text{.}\) Maka \(B(a,1)\subseteq N\text{,}\) sehingga menurut definisi \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Kedua arah ini membuktikan klasifikasi tersebut.