Solusi G.22.1.
Untuk menunjukkan bahwa \(f\) tidak kontinu di \(0=(0,0)\text{,}\) tetapkan \(\epsilon_0=1/2\text{.}\) Diberikan sebarang \(\delta\gt0\text{,}\) pilih \(x=(\delta/2,0)\text{.}\) Maka \(x\neq0\) dan
\begin{equation*}
d_H(x,0)=|x|=\delta/2\lt\delta,
\qquad |f(x)-f(0)|=1\geq\epsilon_0.
\end{equation*}
Ini adalah negasi definisi kekontinuan, sehingga \(f\) tidak kontinu.
Untuk \(g\) di titik asal, pilih \(\delta=1\) bagi sebarang \(\epsilon\gt0\text{.}\) Jika \(d_H(x,0)\lt1\text{,}\) maka \(|x|\lt1\text{,}\) sehingga \(g(x)=0=g(0)\) dan jarak keluarannya nol. Jadi \(g\) kontinu di \(0\text{.}\)
Terakhir, jika \(p\neq0\text{,}\) maka untuk setiap \(x\neq p\) berlaku \(d_H(x,p)=|x|+|p|\geq|p|\text{.}\) Karena itu \(B(p,|p|)=\{p\}\text{.}\) Untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilihan \(\delta=|p|\) memaksa \(x=p\) dan karenanya \(|g(x)-g(p)|=0\lt\epsilon\text{.}\) Maka \(g\) kontinu di setiap titik tak nol juga, sehingga kontinu pada seluruh \(X\text{.}\)