Tetapkan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Karena \(g\) kontinu di \(f(a)\text{,}\) ada \(\eta\gt0\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
d_Y(y,f(a))\lt\eta\quad\Rightarrow\quad
d_Z(g(y),g(f(a)))\lt\epsilon.
\end{equation*}
Karena \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) untuk toleransi \(\eta\) ini ada \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
d_X(x,a)\lt\delta\quad\Rightarrow\quad
d_Y(f(x),f(a))\lt\eta.
\end{equation*}
Jadi, jika \(d_X(x,a)\lt\delta\text{,}\) implikasi kedua menempatkan \(f(x)\) di dalam bola berjari-jari \(\eta\) di sekitar \(f(a)\text{.}\) Dengan mengambil \(y=f(x)\) pada implikasi pertama, diperoleh
\begin{equation*}
d_Z((g\circ f)(x),(g\circ f)(a))
=d_Z(g(f(x)),g(f(a)))\lt\epsilon.
\end{equation*}
Maka \(g\circ f\) kontinu di \(a\text{.}\)