Untuk \(i_1\text{,}\) tetapkan \(a\in\R\) dan \(\epsilon\gt0\text{,}\) lalu pilih \(\delta=\epsilon\text{.}\) Jika \(d_E(x,a)\lt\delta\text{,}\) maka \(d_c(i_1(x),i_1(a))\leq d_E(x,a)\lt\epsilon\text{.}\) Jadi \(i_1\) kontinu.

Untuk \(i_2\text{,}\) pilih \(\delta=\min\{\epsilon,1/2\}\text{.}\) Jika \(d_c(x,a)\lt\delta\leq1/2\text{,}\) nilai minimum \(\min\{|x-a|,1\}\) tidak mungkin berasal dari cabang \(1\text{.}\) Maka \(|x-a|=d_c(x,a)\lt\delta\leq\epsilon\text{.}\) Jadi \(i_2\) juga kontinu. Kedua hasil ini menunjukkan bahwa pemangkasan semua jarak besar pada \(1\) tidak mengubah perilaku lokal yang dideteksi oleh kekontinuan.

Untuk \(i_3\text{,}\) ambil \(\delta=1\) untuk setiap toleransi positif. Syarat \(d_D(x,a)\lt1\) memaksa \(x=a\text{,}\) sehingga jarak keluarannya nol. Jadi \(i_3\) kontinu.

Sebaliknya, tetapkan \(a\in\R\) dan \(\epsilon=1/2\) untuk \(i_4\text{.}\) Untuk setiap \(\delta\gt0\text{,}\) ambil \(r=\min\{\delta/2,1/2\}\gt0\) dan \(x=a+r\text{.}\) Maka \(d_c(x,a)=r\lt\delta\text{,}\) tetapi \(x\neq a\text{,}\) sehingga \(d_D(i_4(x),i_4(a))=1\geq\epsilon\text{.}\) Dengan demikian \(i_4\) tidak kontinu di \(a\text{,}\) dan \(a\) sembarang.