Tetapkan sembarang \(a\in X\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Karena \(L\gt0\text{,}\) bilangan \(\delta=\epsilon/L\) positif. Jika \(x\in X\) memenuhi \(d_X(x,a)\lt\delta\text{,}\) hipotesis Lipschitz memberi
\begin{equation*}
d_Y(f(x),f(a))\leq Ld_X(x,a)\lt
L\delta=L\frac{\epsilon}{L}=\epsilon.
\end{equation*}
Maka \(f\) kontinu di \(a\text{.}\) Karena \(a\) dipilih sembarang, \(f\) kontinu pada \(X\text{.}\) Bahkan radius tersebut tidak bergantung pada titik pusat; hipotesis memberi kendali yang lebih kuat daripada kekontinuan biasa.