Jika \(X\) kosong, pernyataan bahwa \(f\) kontinu di setiap titik domain benar secara hampa. Jika \(X\) tidak kosong, tetapkan sembarang \(a\in X\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Pilih \(\delta=1\text{.}\) Untuk setiap \(x\in X\) yang memenuhi \(d_X(x,a)\lt\delta\text{,}\) kita mempunyai
\begin{equation*}
d_Y(f(x),f(a))=d_Y(y_0,y_0)=0\lt\epsilon.
\end{equation*}
Dengan demikian \(f\) kontinu di setiap titik \(a\in X\text{,}\) sehingga \(f\) kontinu.