Solusi F.38.1.
Tetapkan \(a\in\R^2\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Karena \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) terdapat \(\delta_f\gt0\) sedemikian sehingga \(d_T(x,a)\lt\delta_f\) mengakibatkan \(|f(x)-f(a)|\lt\epsilon/2\text{.}\) Demikian pula, terdapat \(\delta_g\gt0\) sedemikian sehingga \(d_T(x,a)\lt\delta_g\) mengakibatkan \(|g(x)-g(a)|\lt\epsilon/2\text{.}\)
Ambil \(\delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}\text{.}\) Jika \(d_T(x,a)\lt\delta\text{,}\) kedua taksiran di atas berlaku, sehingga
\begin{align*}
|(f+g)(x)-(f+g)(a)|\\
\amp=|(f(x)-f(a))+(g(x)-g(a))|\\
\amp\leq|f(x)-f(a)|+|g(x)-g(a)|\\
\amp\lt\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.
\end{align*}
Jadi \(f+g\) kontinu di \(a\text{,}\) dan karena \(a\) sembarang, fungsi itu kontinu pada seluruh \(\R^2\text{.}\)