Pada \(X=\R\text{,}\) ambil \(d_1(x,y)=|x-y|\) dan metrik diskret \(d_2=d_D\text{.}\) Tetapkan \(a\in\R\) dan \(\epsilon=1/2\text{.}\) Apa pun \(\delta\gt0\text{,}\) titik \(x=a+\delta/2\) memenuhi \(d_1(x,a)=\delta/2\lt\delta\text{.}\) Namun \(x\neq a\text{,}\) sehingga \(d_2(i_X(x),i_X(a))=d_D(x,a)=1\geq\epsilon\text{.}\) Jadi identitas ini tidak kontinu. Kekontinuan identitas bergantung pada hubungan antara kedua metrik, bukan hanya pada fakta bahwa keduanya didefinisikan pada himpunan yang sama.