Tetapkan sembarang \(f\in X\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Ambil \(\delta=\epsilon\text{.}\) Jika \(g\in X\) memenuhi \(d^*(f,g)\lt\delta\text{,}\) maka sifat linear integral dan pertidaksamaan nilai mutlak memberi
\begin{align*}
d_E(I(f),I(g))\amp=|I(f)-I(g)|\\
\amp=\left|\int_a^b(f(t)-g(t))\,dt\right|\\
\amp\leq\int_a^b|f(t)-g(t)|\,dt\\
\amp=d^*(f,g)\lt\delta=\epsilon.
\end{align*}
Jadi \(I\) kontinu di \(f\text{.}\) Karena \(f\) sembarang, \(I\) kontinu pada seluruh \(X\text{.}\) Pertidaksamaan yang sama juga menunjukkan bahwa \(I\) bersifat 1-Lipschitz.