Tetapkan sembarang \(a\in\R\) dan ambil \(\epsilon=1/2\text{.}\) Misalkan \(\delta\gt0\) diberikan. Jika \(a\) rasional, kerapatan bilangan irasional memberi titik irasional \(x\) dengan \(|x-a|\lt\delta\text{.}\) Maka \(f(a)=1\text{,}\) \(f(x)=0\text{,}\) dan \(|f(x)-f(a)|=1\geq\epsilon\text{.}\)

Jika \(a\) irasional, kerapatan bilangan rasional memberi titik rasional \(x\) dengan \(|x-a|\lt\delta\text{.}\) Kini \(f(a)=0\text{,}\) \(f(x)=1\text{,}\) dan kembali \(|f(x)-f(a)|=1\geq\epsilon\text{.}\) Jadi, pada kedua kasus, toleransi \(1/2\) menggagalkan setiap radius positif. Ini tepat merupakan negasi definisi kekontinuan di \(a\text{.}\) Karena \(a\) sembarang, \(f\) tidak kontinu di mana pun.