Solusi F.29.1.

Ambil sembarang \(a\in\R\text{.}\) Untuk membuktikan \(f(a)=0\text{,}\) tetapkan sembarang \(\epsilon\gt0\text{.}\) Karena \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) ada \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga \(|x-a|\lt\delta\) mengakibatkan \(|f(x)-f(a)|\lt\epsilon\text{.}\)

Kerapatan bilangan rasional dalam bilangan real memberi \(q\in\Q\) dengan \(|q-a|\lt\delta\text{.}\) Oleh hipotesis, \(f(q)=0\text{,}\) sehingga

\begin{equation*} |f(a)|=|0-f(a)|=|f(q)-f(a)|\lt\epsilon. \end{equation*}

Jika \(|f(a)|\) positif, kita dapat memilih \(\epsilon=|f(a)|\) dan memperoleh kontradiksi. Jadi \(f(a)=0\text{.}\) Karena \(a\) dipilih sembarang, kesimpulan ini berlaku pada seluruh \(\R\text{.}\)