Solusi F.28.1.
Untuk setiap \(x,y\in\R\text{,}\) kedua bilangan \(|x-y|\) dan \(1\) tak negatif, sehingga \(d(x,y)\geq0\text{.}\) Selanjutnya, \(d(x,y)=0\) tepat ketika \(|x-y|=0\text{,}\) yakni tepat ketika \(x=y\text{.}\) Simetri nilai mutlak juga memberi \(d(x,y)=d(y,x)\text{.}\)
Tinggal membuktikan pertidaksamaan segitiga. Untuk bilangan tak negatif \(a,b\text{,}\) berlaku
\begin{equation*}
\min\{a+b,1\}\leq
\min\{a,1\}+\min\{b,1\}.
\end{equation*}
Memang, jika \(a\geq1\) atau \(b\geq1\text{,}\) ruas kanan sedikitnya \(1\text{,}\) sedangkan ruas kiri paling besar \(1\text{.}\) Jika \(a\lt1\) dan \(b\lt1\text{,}\) ruas kanan sama dengan \(a+b\text{,}\) yang tidak lebih kecil daripada ruas kiri.
Sekarang tetapkan \(a=|x-y|\) dan \(b=|y-z|\text{.}\) Dari \(|x-z|\leq a+b\) dan sifat naik fungsi \(t\mapsto\min\{t,1\}\text{,}\) diperoleh
\begin{align*}
d(x,z)\amp=\min\{|x-z|,1\}\\
\amp\leq\min\{a+b,1\}\\
\amp\leq\min\{a,1\}+\min\{b,1\}\\
\amp=d(x,y)+d(y,z).
\end{align*}
Keempat aksioma terpenuhi, jadi \(d\) merupakan metrik pada \(\R\text{.}\)