Pilih \(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3,\delta_4\}\text{.}\) Jika \(|x-a|<\delta\text{,}\) penguraian pada butir pertama dan pertidaksamaan segitiga memberikan
\begin{align*}
|f(x)g(x)-f(a)g(a)|
\amp\leq |f(a)|\,|g(x)-g(a)|\\
\amp\quad+|g(a)|\,|f(x)-f(a)|\\
\amp\quad+|f(x)-f(a)|\,|g(x)-g(a)|.
\end{align*}
Batas dari \(\delta_4\) menjadikan suku pertama kurang daripada \(\epsilon|f(a)|/[3(1+|f(a)|)]<\epsilon/3\text{.}\) Batas dari \(\delta_3\) menjadikan suku kedua kurang daripada \(\epsilon|g(a)|/[3(1+|g(a)|)]<\epsilon/3\text{.}\) Batas dari \(\delta_1\) dan \(\delta_2\) menjadikan suku ketiga kurang daripada \(\sqrt{\epsilon/3}\sqrt{\epsilon/3}=\epsilon/3\text{.}\) Jadi seluruh jumlah kurang daripada \(\epsilon\text{,}\) sehingga \(fg\) kontinu di \(a\text{.}\)