Ambil sebarang \(a\in X\) dan \(\epsilon>0\text{,}\) lalu tetapkan \(b=f(a)\text{.}\) Kekontinuan \(g\) di \(b\) menghasilkan \(\delta_1>0\) sehingga \(d_Y(y,b)<\delta_1\) mengakibatkan \(d_Z(g(y),g(b))<\epsilon\text{.}\) Kekontinuan \(f\) di \(a\text{,}\) dengan toleransi keluaran \(\delta_1\text{,}\) menghasilkan \(\delta_2>0\) sehingga \(d_X(x,a)<\delta_2\) mengakibatkan \(d_Y(f(x),f(a))<\delta_1\text{.}\)

Pilih \(\delta=\delta_2\text{.}\) Jika \(d_X(x,a)<\delta\text{,}\) maka \(d_Y(f(x),b)<\delta_1\text{,}\) dan karenanya \(d_Z(g(f(x)),g(b))<\epsilon\text{.}\) Karena \(b=f(a)\text{,}\) ini adalah \(d_Z((g\circ f)(x),(g\circ f)(a))<\epsilon\text{.}\) Jadi komposisi kontinu di \(a\text{;}\) karena \(a\) sebarang, komposisi kontinu pada \(X\text{.}\)