Karena \(A\) tak kosong, ada \(a_0\in A\text{.}\) Maka bilangan real \(d(x,a_0)\) merupakan anggota \(D=\{d(x,a)\mid a\in A\}\text{,}\) sehingga \(D\neq\varnothing\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) aksioma tak-negatif metrik memberi \(d(x,a)\geq0\text{.}\) Jadi \(0\) adalah batas bawah \(D\text{.}\)

Aksioma kelengkapan \(\R\) menyatakan bahwa setiap himpunan real tak kosong yang terbatas di bawah mempunyai infimum. Karena kedua hipotesis itu berlaku untuk \(D\text{,}\) bilangan \(\inf D\) ada. Ketunggalan batas bawah terbesar, yang dibuktikan pada empat tugas pertama, memastikan nilainya tunggal. Berdasarkan definisi, \(d(x,A)=\inf D\text{.}\)