Himpunan \(D=\{d(x,a)\mid a\in A\}\) tak kosong karena \(A\neq\varnothing\text{,}\) dan \(0\) adalah batas bawahnya karena jarak selalu tak negatif. Kelengkapan bilangan real menjamin bahwa \(\inf D\text{,}\) yaitu \(d(x,A)\text{,}\) ada dan tunggal.