Solusi E.54.1.
Menurut latihan sebelumnya, pilih \(n\in\N\) sehingga \(1/n<\varepsilon\text{.}\) Ambil bilangan bulat \(m=\lfloor nx\rfloor\text{.}\) Definisi fungsi lantai memberi
\begin{equation*}
m\leq nx<m+1.
\end{equation*}
Karena \(n>0\text{,}\) pembagian dengan \(n\) mempertahankan arah pertidaksamaan dan menghasilkan
\begin{equation*}
\frac{m}{n}\leq x<\frac{m}{n}+\frac{1}{n}.
\end{equation*}
Dengan \(q=m/n\in\Q\text{,}\) kita memperoleh \(0\leq x-q<1/n<\varepsilon\text{,}\) sehingga \(|x-q|<\varepsilon\text{.}\)
Untuk \(x=\sqrt{2}\text{,}\) \(\varepsilon=10^{-3}\text{,}\) dan \(n=2000\text{,}\) berlaku \(1/n=1/2000<10^{-3}\text{.}\) Pertidaksamaan \(2828<2000\sqrt{2}<2829\) dapat diperiksa dengan menguadratkan semua suku positif: \(2828^2<8{,}000{,}000<2829^2\text{.}\) Jadi \(m=\lfloor2000\sqrt{2}\rfloor=2828\) dan
\begin{equation*}
q=\frac{2828}{2000}=\frac{707}{500},\qquad
0<\sqrt{2}-\frac{707}{500}<\frac{1}{2000}<10^{-3}.
\end{equation*}
Konstruksi ini berlaku untuk setiap pusat real \(x\) dan setiap radius \(\varepsilon>0\text{.}\) Karena itu setiap bola terbuka \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\) memuat suatu \(q\in\Q\text{,}\) yang tepat menyatakan bahwa \(\Q\) rapat dalam \(\R\text{.}\)