Solusi E.51.1.
Tetapkan \(x,y\in X\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) pertidaksamaan segitiga memberi \(d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)\text{.}\) Karena \(d(x,A)\) adalah infimum nilai-nilai di ruas kiri, kita mempunyai \(d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,a)\) untuk setiap \(a\in A\text{.}\) Mengambil infimum ruas kanan terhadap \(a\) menghasilkan
\begin{equation*}
d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,A),
\end{equation*}
sehingga \(d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)\text{.}\)
Dengan menukar \(x\) dan \(y\) serta memakai simetri metrik, diperoleh \(d(y,A)-d(x,A)\leq d(y,x)=d(x,y)\text{.}\) Jadi baik selisih \(d(x,A)-d(y,A)\) maupun kebalikannya tidak melebihi \(d(x,y)\text{.}\) Kedua pertidaksamaan itu setara dengan \(|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)\text{.}\) Bukti ini tidak memerlukan titik terdekat dalam \(A\text{,}\) yang memang belum tentu ada.