Pemeriksaan E.50. Jarak nol dan tutupan.
Misalkan \((X,d)\) ruang metrik, \(A\subseteq X\) tak kosong, dan \(d(x,A)=\inf\{d(x,a)\mid a\in A\}\text{.}\) Buktikan bahwa
\begin{equation*}
d(x,A)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\overline{A}.
\end{equation*}
Rubrik. Buktikan kedua implikasi dengan definisi tutupan melalui bola terbuka; nyatakan secara eksplisit bagaimana sifat infimum menghasilkan titik \(a\in A\) pada jarak kurang dari \(\varepsilon\text{.}\)