Andaikan \(x\in\overline{A}\text{.}\) Untuk setiap \(\varepsilon>0\text{,}\) ada \(a_\varepsilon\in A\) dengan \(d(x,a_\varepsilon)<\varepsilon\text{.}\) Karena infimum tidak melebihi setiap anggota himpunan yang diinfimumkan, \(0\leq d(x,A)\leq d(x,a_\varepsilon)<\varepsilon\text{.}\) Tidak ada bilangan real positif yang lebih kecil daripada setiap \(\varepsilon>0\text{;}\) maka \(d(x,A)=0\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan \(d(x,A)=0\text{.}\) Ambil sembarang \(\varepsilon>0\text{.}\) Jika semua \(a\in A\) memenuhi \(d(x,a)\geq\varepsilon\text{,}\) maka \(\varepsilon\) merupakan batas bawah himpunan \(\{d(x,a)\mid a\in A\}\text{,}\) bertentangan dengan fakta bahwa batas bawah terbesarnya adalah nol. Jadi terdapat \(a\in A\) dengan \(d(x,a)<\varepsilon\text{.}\) Artinya \(B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing\) untuk setiap radius positif, sehingga \(x\in\overline{A}\text{.}\)