Tetapkan \(\alpha=d(a,B)\text{,}\) \(\beta=d(a,C)\text{,}\) dan \(r=\min\{\alpha,\beta\}\text{.}\) Karena \(B\subseteq B\cup C\text{,}\) himpunan jarak yang dipakai untuk mendefinisikan \(d(a,B\cup C)\) memuat semua jarak ke \(B\text{.}\) Maka \(d(a,B\cup C)\leq\alpha\text{.}\) Dengan alasan yang sama, \(d(a,B\cup C)\leq\beta\text{.}\) Jadi \(d(a,B\cup C)\leq r\text{.}\)

Sebaliknya, ambil \(u\in B\cup C\text{.}\) Jika \(u\in B\text{,}\) definisi infimum memberi \(d(a,u)\geq\alpha\geq r\text{.}\) Jika \(u\in C\text{,}\) diperoleh \(d(a,u)\geq\beta\geq r\text{.}\) Jadi \(r\) adalah batas bawah bagi semua jarak \(\{d(a,u)\mid u\in B\cup C\}\text{.}\) Karena infimum adalah batas bawah terbesar, \(r\leq d(a,B\cup C)\text{.}\) Menggabungkan kedua arah memberi \(d(a,B\cup C)=r=\min\{d(a,B),d(a,C)\}\text{.}\)