Solusi E.41.1.
Ambil sebarang \(\varepsilon>0\text{.}\) Karena \(d(y,A)=\inf\{d(y,a)\mid a\in A\}\text{,}\) terdapat \(a_\varepsilon\in A\) dengan \(d(y,a_\varepsilon)<d(y,A)+\varepsilon\text{.}\) Jika tidak ada titik seperti itu, \(d(y,A)+\varepsilon\) akan menjadi batas bawah yang lebih besar daripada infimum, suatu kontradiksi.
Berdasarkan definisi infimum dan pertidaksamaan segitiga,
\begin{equation*}
d(x,A)
\leq d(x,a_\varepsilon)
\leq d(x,y)+d(y,a_\varepsilon)
<d(x,y)+d(y,A)+\varepsilon.
\end{equation*}
Misalkan, sebaliknya, \(d(x,A)>d(x,y)+d(y,A)\text{.}\) Memilih \(\varepsilon\) lebih kecil daripada selisih positif kedua ruas akan bertentangan dengan pertidaksamaan terakhir. Jadi \(d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,A)\text{.}\)