Untuk setiap \(\varepsilon>0\text{,}\) pilih \(a_\varepsilon\in A\) dengan \(d(y,a_\varepsilon)<d(y,A)+\varepsilon\text{.}\) Maka \(d(x,A)<d(x,y)+d(y,A)+\varepsilon\text{.}\) Karena ini berlaku untuk setiap \(\varepsilon>0\text{,}\) diperoleh pertidaksamaan yang diminta.