Solusi E.40.1.
Tukarkan nama kedua bilangan jika perlu dan tetapkan \(u=\min\{x,y\}\) serta \(v=\max\{x,y\}\text{,}\) sehingga \(u<v\text{.}\) Bilangan \(h_N=\sqrt{2}/2^N\) dapat dibuat sekecil yang diinginkan: menurut induksi \(2^N\geq N+1\text{,}\) dan sifat Archimedes memungkinkan \(N+1\) melampaui sebarang batas real yang ditentukan. Jadi pilih \(N\in\Z^+\) sehingga \(0<h=h_N<v-u\text{.}\)
Mula-mula andaikan interval tidak melintasi nol, yaitu \(u\geq0\) atau \(v\leq0\text{.}\) Ambil bilangan bulat terkecil \(q\) yang memenuhi \(q>u/h\text{.}\) Keminimalannya memberi \(q-1\leq u/h\text{,}\) sehingga
\begin{equation*}
u<qh\leq u+h<v.
\end{equation*}
Jika \(u\geq0\text{,}\) maka \(q>u/h\geq0\text{,}\) sehingga \(q\geq1\text{.}\) Jika \(v\leq0\text{,}\) rantai di atas memberi \(qh<v\leq0\text{,}\) sehingga \(q<0\text{.}\) Jadi dalam kedua subkasus \(q\neq0\text{.}\)
Jika \(u<0<v\text{,}\) pilih \(N\) lebih besar lagi bila perlu agar juga \(h<v\text{,}\) dan ambil \(q=1\text{.}\) Maka \(u<0<h<v\text{,}\) sehingga kembali diperoleh kelipatan \(z=qh\) di dalam interval dengan \(q\neq0\text{.}\)
Akhirnya, dalam kedua kasus \(z=q\sqrt{2}/2^N\text{.}\) Seandainya \(z\) rasional, karena \(q\neq0\) kita akan memperoleh \(\sqrt{2}=(2^N/q)z\in\Q\text{,}\) bertentangan dengan Tugas 28. Jadi \(z\) irasional dan terletak ketat di antara \(x\) dan \(y\text{.}\)