Solusi E.39.1.

Karena \(2\mid r\text{,}\) tuliskan \(r=2k\) untuk suatu \(k\in\Z^+\text{.}\) Substitusi ke persamaan \(r^2=2s^2\) memberi

\begin{equation*} (2k)^2=2s^2, \qquad 4k^2=2s^2, \qquad s^2=2k^2. \end{equation*}

Jadi \(2\mid s^2\text{.}\) Karena \(2\) prima, lema Euklides memberi \(2\mid s\text{.}\)

Dengan demikian \(2\) adalah faktor persekutuan positif dari \(r\) dan \(s\text{.}\) Ini bertentangan dengan pilihan \(r/s\) dalam bentuk paling sederhana, yakni bahwa \(r\) dan \(s\) tidak mempunyai faktor persekutuan positif selain \(1\text{.}\) Pengandaian bahwa \(\sqrt{2}\) rasional harus salah; maka \(\sqrt{2}\) irasional.