Dari \(\sqrt{2}=r/s\text{,}\) dengan \(s>0\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
2=(\sqrt{2})^2=\frac{r^2}{s^2}.
\end{equation*}
Mengalikan kedua ruas dengan \(s^2\) menghasilkan \(r^2=2s^2\text{.}\) Maka \(r^2\) genap, atau \(2\mid r^2=r\cdot r\text{.}\) Berdasarkan lema Euklides, jika bilangan prima membagi suatu hasil kali, ia membagi sekurang-kurangnya satu faktornya. Karena kedua faktor di sini sama-sama \(r\text{,}\) diperoleh \(2\mid r\text{.}\) Jadi ada \(k\in\Z^+\) dengan \(r=2k\text{.}\)