Solusi E.33.1.
Misalkan \(B_{d_E}(c,\varepsilon)\) suatu bola terbuka dengan \(c=(c_1,c_2)\) dan \(\varepsilon>0\text{.}\) Berdasarkan kerapatan bilangan rasional dalam bilangan real, terdapat \(q_1,q_2\in\Q\) sedemikian sehingga \(|q_1-c_1|<\varepsilon/2\) dan \(|q_2-c_2|<\varepsilon/2\text{.}\) Tetapkan \(q=(q_1,q_2)\text{.}\)
Untuk bilangan real \(u,v\text{,}\) kedua ruas tak negatif dan \(u^2+v^2\leq(|u|+|v|)^2\text{,}\) sehingga \(\sqrt{u^2+v^2}\leq|u|+|v|\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*}
d_E(c,q)
\leq |q_1-c_1|+|q_2-c_2|
< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
=\varepsilon.
\end{equation*}
Maka \(q\in B_{d_E}(c,\varepsilon)\text{,}\) dan kedua koordinat \(q\) rasional sebagaimana diminta.