Solusi E.32.1.
Karena \(m\in S\text{,}\) definisi \(S\) memberi \(m>nx\text{.}\) Bilangan \(m-1\) adalah bilangan bulat dan memenuhi \(m-1<m\text{.}\) Maka Tugas 20, dengan \(q=m-1\text{,}\) memberi \(m-1\leq nx\text{,}\) atau setara dengan \(m\leq nx+1\text{.}\)
Dari \(n(y-x)>1\) diperoleh \(ny-nx>1\text{,}\) sehingga \(nx+1<ny\text{.}\) Menggabungkan semuanya menghasilkan
\begin{equation*}
nx<m\leq nx+1<ny.
\end{equation*}
Karena \(n\) bilangan bulat positif, pembagian dengan \(n\) mempertahankan arah pertidaksamaan dan memberi \(x<m/n<y\text{.}\) Dengan \(m\in\Z\) dan \(n\in\Z^+\text{,}\) bilangan \(m/n\) rasional. Jadi setiap interval terbuka tak kosong di \(\R\) memuat suatu bilangan rasional.