Sifat Archimedes menjamin bahwa \(S\) tak kosong, sedangkan Tugas 19 menunjukkan bahwa \(S\) terbatas di bawah. Karena \(S\subseteq\Z\text{,}\) Prinsip Pengurutan Baik yang dinyatakan pada latihan sumber memastikan bahwa \(S\) memuat infimumnya. Tuliskan anggota terkecil ini sebagai \(m=\inf S\text{;}\) khususnya \(m\in S\text{.}\)

Ambil \(q\in\Z\) dengan \(q<m\text{.}\) Andaikan \(q>nx\text{.}\) Syarat ini dan fakta bahwa \(q\) bilangan bulat akan memberi \(q\in S\text{,}\) bertentangan dengan keminimalan \(m\) karena \(q<m\text{.}\) Jadi pengandaian tersebut salah dan harus berlaku \(q\leq nx\text{.}\)