Karena \(M-1\lt M=\sup(\Z^+)\text{,}\) bilangan \(M-1\) tidak dapat menjadi batas atas bagi \(\Z^+\text{;}\) jika ia batas atas, sifat terkecil supremum akan memberi \(M\leq M-1\text{.}\) Jadi terdapat \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt M-1\text{.}\) Penambahan satu memberi \(N+1\gt M\text{.}\) Akan tetapi, \(N+1\) juga bilangan bulat positif, sehingga \(N+1\in\Z^+\text{.}\) Ini bertentangan dengan asumsi bahwa \(M\) adalah batas atas bagi \(\Z^+\text{.}\)

Kontradiksi tersebut berasal dari asumsi awal bahwa, untuk suatu \(x\in\R\text{,}\) tidak ada bilangan bulat positif yang lebih besar daripada \(x\text{.}\) Maka asumsi itu salah untuk setiap \(x\text{:}\) bagi setiap \(x\in\R\) terdapat \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt x\text{.}\) Inilah sifat Archimedes.