Aksioma kelengkapan menyatakan bahwa setiap subhimpunan tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di atas mempunyai supremum. Himpunan \(\Z^+\) merupakan subhimpunan \(\R\) dan tidak kosong karena memuat \(1\text{.}\) Dalam argumen kontradiksi ini, keterbatasannya di atas sedang diandaikan. Karena semua hipotesis aksioma kelengkapan terpenuhi, terdapat \(M=\sup(\Z^+)\text{.}\) Berdasarkan definisi supremum, \(M\) adalah batas atas terkecil bagi \(\Z^+\text{.}\)