Solusi E.23.1.
Untuk \(f,g\in C[a,b]\text{,}\) fungsi \(t\mapsto|f(t)-g(t)|\) kontinu. Teorema nilai ekstrem pada interval kompak \([a,b]\) menjamin bahwa fungsi ini mencapai suatu maksimum berhingga. Jadi \(d(f,g)\) terdefinisi sebagai bilangan real tak negatif.
Jelas \(d(f,g)\geq0\text{.}\) Jika \(f=g\text{,}\) maka seluruh selisih bernilai nol, sehingga \(d(f,g)=0\text{.}\) Sebaliknya, jika \(d(f,g)=0\text{,}\) maka untuk setiap \(t\in[a,b]\text{,}\) \(0\leq|f(t)-g(t)|\leq d(f,g)=0\text{.}\) Jadi \(f(t)=g(t)\) untuk setiap \(t\text{,}\) yakni \(f=g\text{.}\) Selanjutnya, \(|f(t)-g(t)|=|g(t)-f(t)|\) pada setiap \(t\text{,}\) maka \(d(f,g)=d(g,f)\text{.}\)
Untuk \(f,g,h\in C[a,b]\) dan setiap \(t\in[a,b]\text{,}\)
\begin{equation*}
|f(t)-h(t)|\leq |f(t)-g(t)|+|g(t)-h(t)|
\leq d(f,g)+d(g,h).
\end{equation*}
Ruas kanan adalah batas atas yang tidak bergantung pada \(t\text{.}\) Mengambil supremum atas \(t\in[a,b]\) pada ruas kiri memberi \(d(f,h)\leq d(f,g)+d(g,h)\text{.}\) Jadi keempat aksioma metrik terpenuhi. Nilai \(|f(t)-g(t)|\) adalah jarak vertikal kedua graf di absis \(t\text{;}\) supremum, yang di sini merupakan maksimum, adalah jarak vertikal terbesar pada seluruh interval. Itulah alasan nama metrik supremum atau metrik seragam.