Tetapkan \(L=\min\{\inf(A),\inf(B)\}\text{.}\) Jika \(u\in A\cup B\text{,}\) maka \(u\in A\) atau \(u\in B\text{.}\) Jika \(u\in A\text{,}\) maka \(L\leq\inf(A)\leq u\text{;}\) jika \(u\in B\text{,}\) maka \(L\leq\inf(B)\leq u\text{.}\) Jadi \(L\) adalah batas bawah bagi \(A\cup B\text{.}\)

Misalkan \(V\) sebarang batas bawah bagi \(A\cup B\text{.}\) Karena \(A,B\subseteq A\cup B\text{,}\) \(V\) adalah batas bawah bagi \(A\) dan bagi \(B\text{.}\) Maka \(V\leq\inf(A)\) dan \(V\leq\inf(B)\text{,}\) sehingga \(V\leq L\text{.}\) Jadi \(L\) adalah batas bawah terbesar dan kesamaan yang diminta berlaku.