Tetapkan \(M=\max\{\sup(A),\sup(B)\}\text{.}\) Jika \(u\in A\cup B\text{,}\) maka \(u\in A\) atau \(u\in B\text{.}\) Dalam kasus pertama, \(u\leq\sup(A)\leq M\text{;}\) dalam kasus kedua, \(u\leq\sup(B)\leq M\text{.}\) Jadi \(M\) adalah batas atas bagi \(A\cup B\text{.}\)

Sekarang misalkan \(U\) sebarang batas atas bagi \(A\cup B\text{.}\) Karena \(A\subseteq A\cup B\) dan \(B\subseteq A\cup B\text{,}\) \(U\) adalah batas atas bagi \(A\) dan bagi \(B\text{.}\) Maka \(\sup(A)\leq U\) dan \(\sup(B)\leq U\text{,}\) sehingga \(M\leq U\text{.}\) Jadi \(M\) adalah batas atas terkecil, yang membuktikan kesamaan tersebut.