Solusi E.19.1.
Tetapkan \(p=\inf(A)\) dan \(q=\inf(B)\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\) dan \(b\in B\text{,}\) berlaku \(p\leq a\) dan \(q\leq b\text{,}\) sehingga \(p+q\leq a+b\text{.}\) Jadi \(p+q\) adalah batas bawah bagi \(A+B\text{.}\) Himpunan \(A+B\) tidak kosong, maka infimumnya \(w=\inf(A+B)\) ada, dan sifat terbesar infimum memberi \(p+q\leq w\text{.}\)
Andaikan \(w\gt p+q\) dan tetapkan \(\epsilon=w-(p+q)\gt0\text{.}\) Karena \(p+\epsilon/2\gt p=\inf(A)\text{,}\) sifat pendekatan infimum memberi \(a\in A\) dengan \(p\leq a\lt p+\epsilon/2\text{.}\) Demikian pula, ada \(b\in B\) dengan \(q\leq b\lt q+\epsilon/2\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
a+b\lt p+q+\epsilon=w.
\end{equation*}
Ini mustahil karena \(a+b\in A+B\) dan \(w\) adalah batas bawah bagi \(A+B\text{,}\) yang mengharuskan \(w\leq a+b\text{.}\) Jadi \(w\not\gt p+q\text{.}\) Bersama \(p+q\leq w\text{,}\) diperoleh \(w=p+q\text{.}\)