Solusi E.18.1.
Kita sudah mengetahui \(z\leq x+y\text{.}\) Andaikan \(z\lt x+y\) dan definisikan \(\epsilon=x+y-z\gt0\text{.}\) Karena \(x-\epsilon/2\lt x=\sup(A)\text{,}\) sifat pendekatan supremum menjamin adanya \(a\in A\) dengan \(x-\epsilon/2\lt a\leq x\text{.}\) Dengan alasan yang sama, ada \(b\in B\) dengan \(y-\epsilon/2\lt b\leq y\text{.}\)
Menjumlahkan dua pertidaksamaan ketat itu menghasilkan
\begin{equation*}
a+b \gt x+y-\epsilon=x+y-(x+y-z)=z.
\end{equation*}
Akan tetapi, \(a+b\in A+B\text{,}\) sedangkan \(z=\sup(A+B)\) adalah batas atas bagi \(A+B\text{;}\) seharusnya \(a+b\leq z\text{.}\) Kontradiksi ini menolak \(z\lt x+y\text{.}\) Karena sebelumnya telah dibuktikan \(z\leq x+y\text{,}\) satu-satunya kemungkinan ialah \(z=x+y\text{.}\) Jadi \(\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)\text{.}\)