Karena \(A\) dan \(B\) tidak kosong, terdapat \(a_0\in A\) dan \(b_0\in B\text{,}\) sehingga \(a_0+b_0\in A+B\text{;}\) jadi \(A+B\) tidak kosong. Butir sebelumnya menunjukkan bahwa \(x+y\) merupakan batas atas bagi \(A+B\text{.}\) Aksioma kelengkapan kemudian menjamin adanya \(z=\sup(A+B)\text{.}\) Supremum adalah batas atas terkecil, sehingga ia tidak dapat melebihi batas atas \(x+y\text{.}\) Oleh karena itu \(z\leq x+y\text{.}\)