Supremum \(x\) adalah batas atas bagi \(A\text{,}\) sehingga \(a\leq x\) untuk setiap \(a\in A\text{.}\) Demikian pula, \(b\leq y\) untuk setiap \(b\in B\text{.}\) Ambil sebarang unsur \(c\in A+B\text{.}\) Berdasarkan definisi jumlah himpunan, terdapat \(a\in A\) dan \(b\in B\) dengan \(c=a+b\text{.}\) Menjumlahkan kedua pertidaksamaan menghasilkan \(c=a+b\leq x+y\text{.}\) Karena hal ini berlaku bagi setiap \(c\in A+B\text{,}\) \(x+y\) adalah batas atas bagi \(A+B\text{.}\)