Ambil sebarang \(r\lt t\text{.}\) Andaikan tidak terdapat \(s\in S\) dengan \(r\lt s\text{.}\) Maka setiap \(s\in S\) memenuhi \(s\leq r\text{,}\) sehingga \(r\) adalah batas atas bagi \(S\text{.}\) Namun, karena \(t=\sup(S)\) adalah batas atas terkecil, setiap batas atas bagi \(S\) harus memenuhi \(t\leq r\text{.}\) Hal ini bertentangan dengan \(r\lt t\text{.}\) Jadi ada \(s\in S\) dengan \(r\lt s\text{.}\) Selain itu, \(t\) adalah batas atas bagi \(S\text{,}\) maka \(s\leq t\text{.}\) Dengan demikian \(r\lt s\leq t\text{.}\)