Karena \(b\) batas bawah bagi \(a+S\text{,}\) untuk setiap \(s\in S\) berlaku \(b\leq a+s\text{.}\) Mengurangi kedua ruas dengan \(a\) memberi \(b-a\leq s\) untuk setiap \(s\in S\text{.}\) Jadi \(b-a\) merupakan batas bawah bagi \(S\text{.}\) Infimum adalah batas bawah terbesar, sehingga \(b-a\leq\inf(S)\text{,}\) atau ekuivalen dengan \(b\leq a+\inf(S)\text{.}\)

Butir sebelumnya telah membuktikan bahwa \(a+\inf(S)\) adalah batas bawah bagi \(a+S\text{.}\) Argumen di atas membuktikan bahwa setiap batas bawah \(b\) bagi \(a+S\) tidak melebihi bilangan tersebut. Maka \(a+\inf(S)\) adalah batas bawah terbesar bagi \(a+S\text{,}\) sehingga \(\inf(a+S)=a+\inf(S)\text{.}\)