Karena \(\inf(S)\) adalah batas bawah bagi \(S\text{,}\) untuk setiap \(s\in S\) berlaku \(\inf(S)\leq s\text{.}\) Penjumlahan dengan bilangan real \(a\) mempertahankan urutan, sehingga \(a+\inf(S)\leq a+s\text{.}\) Setiap unsur \(a+S\) berbentuk \(a+s\text{;}\) jadi \(a+\inf(S)\) memang batas bawah bagi \(a+S\text{.}\)

Pilih \(s_0\in S\text{,}\) yang ada karena \(S\) tidak kosong. Maka \(a+s_0\in a+S\text{,}\) sehingga \(a+S\) tidak kosong. Bersama dengan batas bawah yang baru ditemukan, aksioma kelengkapan untuk \(\R\) menyatakan bahwa \(a+S\) mempunyai batas bawah terbesar, yakni \(\inf(a+S)\text{.}\)