Untuk \(g(x)=-x^2\text{,}\) pertidaksamaan cekung ekuivalen dengan \(((1-\alpha)x+\alpha y)^2\leq(1-\alpha)x^2+\alpha y^2\text{.}\) Selisih ruas kanan dan kiri ialah \(\alpha(1-\alpha)(x-y)^2\geq0\text{,}\) jadi klaim berlaku.

Jika \(a=b=0\text{,}\) maka \(f(a)+f(b)=2f(0)\geq f(0)=f(a+b)\text{.}\) Jika \(a+b>0\text{,}\) letakkan \(\lambda=a/(a+b)\text{.}\) Kekonkavan dengan titik \(a+b\) dan \(0\) memberi \(f(a)\geq\lambda f(a+b)+(1-\lambda)f(0)\geq\lambda f(a+b)\text{.}\) Dengan bobot pelengkap diperoleh \(f(b)\geq(1-\lambda)f(a+b)\text{.}\) Menjumlahkan memberi subaditivitas.

Untuk \(f\circ d\text{,}\) tak-negatif jelas; nilai nol setara dengan \(d(x,y)=0\text{,}\) lalu dengan \(x=y\text{.}\) Simetri diwarisi dari \(d\text{.}\) Akhirnya, monotonitas dan subaditivitas memberi \(f(d(x,y))\leq f(d(x,z)+d(z,y))\leq f(d(x,z))+f(d(z,y))\text{.}\) Jadi semua aksioma metrik terpenuhi.